सत्यापित कीजिए कि नीचे दिए गए त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उनके शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध को भी सत्यापित कीजिए: $2x^3 + x^2 - 5x + 2; \frac{1}{2}, 1, -2$.

(A) माना $p(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2$.
दिए गए मान $\alpha = \frac{1}{2}, \beta = 1, \gamma = -2$ हैं।
सबसे पहले,हम सत्यापित करते हैं कि ये शून्यक हैं:
$p(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 2 = -2 + 2 = 0$.
$p(1) = 2(1)^3 + (1)^2 - 5(1) + 2 = 2 + 1 - 5 + 2 = 0$.
$p(-2) = 2(-8) + 4 - 5(-2) + 2 = -16 + 4 + 10 + 2 = 0$.
अतः,$\frac{1}{2}, 1,$ और $-2$ बहुपद के शून्यक हैं।
$p(x)$ की तुलना $ax^3 + bx^2 + cx + d$ से करने पर,$a = 2, b = 1, c = -5, d = 2$ प्राप्त होता है।
संबंधों का सत्यापन:
$1$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2} + 1 - 2 = -\frac{1}{2} = \frac{-b}{a}$.
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (\frac{1}{2})(1) + (1)(-2) + (-2)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 - 1 = -\frac{5}{2} = \frac{c}{a}$.
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = (\frac{1}{2})(1)(-2) = -1 = \frac{-d}{a} = \frac{-2}{2} = -1$.
इस प्रकार,संबंध सत्यापित होता है।